Решение различных геометрических, физических и инженерных задач часто приводят к уравнениям, которые связывают независимые переменные, характеризующие ту ил иную задачу, с какой – либо функцией этих переменных и производными этой функции различных порядков.
В качестве примера можно рассмотреть простейший случай равноускоренного движения материальной точки.
Известно, что перемещение материальной точки при равноускоренном движении является функцией времени и выражается по формуле:
В свою очередь ускорение a является производной по времени t от скорости V, которая также является производной по времени t от перемещения S. Т.е.
Тогда получаем: - уравнение связывает функцию f(t) с независимой переменной t и производной второго порядка функции f(t).
Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимые переменные, их функции и производные (или дифференциалы) этой функции.
Общие понятия о дифференциальных уравнениях
Задача 1
Решить уравнение Бернулли:
y^'+xy=y^3
Решение
Для решения уравнения Бернулли проведем замену:
z=y^(1-3)=y^(-2)
Тогда
z^'=(-2)*y^(-3)*y'
Разделим уравнение на y^3, получим:
y^'/y^3 +xy/y^3 =1
Подставим в уравнение вместо
y^'/y^3 =z'/(-2) (выражено из z^'=(-2)*y^(-3)*y^')
xy/y^3 =x/y^2 =xz
Получим линейное уравнение:
z'/(-2)+xz=1
Домножим на (-2):
z^'-2xz=-2
Решим уравнение заменой:
z=uv
z^'=u^' v+v'u
u^' v+v'u-2xuv=-2
Выберем функцию v таким образом, чтобы v'u-2xuv=0, v'-2xv=0
Получили уравнение с разделяющими переменными:
- Курсовая работа
- Дипломная работа
- Контрольная работа
- Реферат
- Отчет по практике
- Магистерская работа
- Статья
- Эссе
- Научно-исследовательская работа
- Доклад
- Глава диплома
- Ответы на билеты
- Презентация
- Доработка заказа клиента
- Аспирантский реферат
- Монография
- ВКР
- Дипломная работа MBA
- Компьютерный набор текста
- Речь к диплому
- Тезисный план
- Чертёж
- Диаграммы, таблицы
- ВАК
- Перевод
- Бизнес план
- Научная статья
- Рецензия
- Лабораторная работа
- Решение задач
- Диссертация
